En matemática computacional, un método
iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de
ecuaciones) mediante aproximaciones
sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta
aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el
problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b
encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos
iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande
de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos
tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador
disponible.
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x)
= x, y una solución x es un punto fijo
atractivo de la función f,
entonces puede empezar con un punto x1 en la base de
atracción de x, y sea xn+1 = f(xn)
para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1
convergerá a la solución x.
Sistemas lineales
En el caso de un sistema
lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos
iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales
métodos del subespacio
de Krylov
Métodos iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios
resuelven un sistema lineal con un operador que
se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde
una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras
que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia
normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.
Convergencia
Dado que estos métodos forman una base, el
método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del
sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no
se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso
iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos
métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del
operador.
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